Rapport écrit Life2HEADmaster

Signed-off-by: Nicolas Paul <n@nc0.fr>

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new file mode 100644
index 0000000..9d864b0
--- /dev/null
+++ b/docs/rapport/density.csv
@@ -0,0 +1,12 @@
+Itération,Société A,Société B

+0,0,0

+10,0.06,0.08

+20,0.09,0.14

+30,0.31,0.26

+40,0.37,0.39

+50,0.36,0.4

+60,0.36,0.4

+70,0.29,0.47

+80,0.43,0.33

+90,0.52,0.24

+100,0.58,0.18
\ No newline at end of file
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new file mode 100644
index 0000000..6e9ba9f
--- /dev/null
+++ b/docs/rapport/population_density_evolution.jpg
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new file mode 100644
index 0000000..53cc965
--- /dev/null
+++ b/docs/rapport/rapport.md
@@ -0,0 +1,173 @@
+# Life2
+
+*Étude sur l’évolution du comportement d’individus au sein de sociétés
+similaires partageant un territoire commun.*
+
+L’étude Life2 est un jeu de simulation générique inspiré du célèbre
+[Jeu de la Vie de Conway][gol] dans lequel nous modélisons deux sociétés aux
+propriétés similaires dans l’objectif d’analyser leurs évolutions et
+interactions au cours du temps.
+
+[gol]: https://conwaylife.com/wiki/Conway%27s_Game_of_Life
+
+## Règles du jeu
+
+Bien que Life2 et sa principale implémentation soient flexibles sur les
+fonctions d calcul utilisées pour continuer la simulation, nous avons
+décider de rester proche des règles fondamentales de la version de Conway,
+dans l’objectif de minimiser les différences logiques entre l’étude proposée
+et le sujet du Jeu de la Vie.
+
+Ainsi nous disposons de trois règles :
+
+  1. **Règle de recrutement :** si une cellule vide à trois voisins de la même
+     équipe, et que le nombre de voisins de la seconde équipe est différent de
+     trois, alors la cellule devient membre de la première équipe.
+  2. **Règle de propagande :** si une cellule vide a le même nombre de voisins
+     dans chaque équipe, alors elle rejoint une des deux équipes de manière
+     totalement aléatoire.
+  3. **Règle du prisonnier :** si le nombre de voisins de l’équipe adverse est
+     supérieur à celui de l’équipe de la cellule, alors la cellule change
+     d’équipe.
+
+Nous définissons $R$ comme l’ensemble contenant les règles.
+
+Nous pouvons aussi remarquer que le grille du jeu ne pourra que se remplir.
+En effet, le choix de ne pas ajouter une règle de surpopulation à $R$ est
+expliqué par la volonté de simplifier la simulation effectuée.
+
+## Simulation et évaluation
+
+Maintenant que les règles du jeu sont expliquées et que le fonctionnement du
+jeu en découle, nous pouvons lancer une simulation.
+L’évolution du jeu est effectuée à l’aide d’une [implémentation open-source
+du jeu disponible en ligne][gh] créée par Nicolas.
+
+[gh]: https://github.com/nc0fr/life2
+
+La simulation se place dans un plan 2D carré, de côté $100$ cellules.
+Le paterne initial et sa densité sont choisis aléatoirement à l’aide d’un
+algorithme de bruit simplex (non-traité ici).
+
+À chaque itération $i$ de la simulation, nous notons $p_i$ la densité de
+population d’une société.
+Cette valeur est déterminée à partir d’équations de la théorie du champ
+moléculaire de Pierre Weiss en physique.
+
+Grâce à ces données, nous pouvons visualiser l’évolution des sociétés par un
+graphe.
+
+<!-- TODO(nc0): Graphique -->
+![Évolution de la densité de population des deux sociétés](population_density_evolution.jpg)
+
+Nous pouvons remarquer une explosion de la densité dans les deux sociétés de
+l’itération $i=0$ à $i=40$. Ensuite, nous pouvons constater une courte
+stabilisation (de $i=41$ à $i=60$), avant d’observer une chute brutale pour
+la seconde société et une nette augmentation pour la première.
+
+Il est important de rappeler que la graphe présentée proviens d’une seule
+simulation, et que chaque lancer d'un monde peut amener à des résultats
+différents.
+
+## Interprétation
+
+Pour commencer notre interprétation de nos résultats, nous commençons par
+diviser notre graphe en trois périodes telles que décrites ici :
+
+  1. première période, $\forall i \in [0; 40]$ ;
+  2. deuxième période, $\forall i \in ]40; 60]$ ; et
+  3. troisième période, $\forall i \in ]60; 100]$.
+
+La première période, que nous pouvons nommer *Période d’expansion*, est
+marquée par une explosion presque qu'exponentielle de la densité de population
+dans chacune des sociétés.
+Nous pouvons expliquer ce comportement par le fait que les cellules “recrutent”
+parmi les cellules vides, tel un liquide remplissant un contenant vide.
+
+La deuxième période, intitulée *Période de stabilisation*, permet
+l’observation d’un fort ralentissement de la croissance des densités.
+Nous pouvons théoriser que la majorité des cellules vides ont déjà été
+recrutées par les sociétés.
+De plus, nous pensons que l’effet de stabilisation des sociétés durant cette
+période est influencé par la **Règle de propagande** (deuxième règle de $R$).
+En effet, un choix aléatoire parmi deux possibilités modélise une probabilité
+$\pi = 1/2$, qui a tendance à se "stabiliser" après un grand nombre d'itération
+(c.f. la loi des grands nombres).
+
+![Visualisation de la "stabilisation" de la probabilité après un grand nombre de lancés de pièce](stabilisation_lances_pieces.png)
+
+Une autre preuve empirique de ce phénomène est démontrée par le changement
+distinct de croissance de la courbe durant la stabilisation, lorsque nous
+modifions la deuxièmes règle.
+Nous pouvons alors établir une relation forte (appelée élasticité) entre la
+probabilité de la **Règle de propagande** et la croissance évolutive de la
+densité de population :
+
+- Étant dans un modèle fermé, la formule de l'élasticité est
+$$
+\epsilon(\mathbb{A}, \mathbb{B}) =
+\frac{\frac{\mathbb{A}_2 - \mathbb{A}_1}{\mathbb{A}_1}}{\frac{\mathbb{B}_2 - \mathbb{B}_1}{\mathbb{B}_1}}
+$$
+
+- Nous avons $\mathbb{A} = \pi$  (la probabilité qu'une cellule aille dans une
+  des deux sociétés pendant la **Règle de propagande**) et $\mathbb{B} = p_i$
+  (la densité de population lors à la fin de la *Période de stabilisation*.
+
+- Nous comparons notre simulation actuelle à une simulation où la
+  pièce est truqué pour favoriser la première société de manière significative :
+  $(\pi_1 = \frac{1}{2}, {p_i}_1 = 0.36)$ ; $(\pi_2 = \frac{6}{7}, {p_i}_1 = 0.37)$
+
+- Alors
+$$
+\epsilon =
+\frac{\frac{\frac{6}{7} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}}{\frac{0.37 - 0.36}{0.36}} \approx
+24
+$$.
+
+- $24 > 1 \implies$ le niveau de stabilistion dépend très fortement de la
+  probabibilité de la **Règle de propagande**.
+
+Dernièrement, la troisième période, surnommée *Période de guerre*, illustre
+une tendance chaotique puis désastreuse de l’évolution de la densité.
+En effet, nous pouvons observer une augmentation de la densité de la
+population de notre première société, tout en observant une diminution
+proportionnelle de la densité de population de notre seconde société.
+Le coefficient de proportionnalité est de $\frac{{p_i}_{bleue}}{{p_i}_{rouge}}$.
+
+Nous pouvons expliquer l’apparition de cette période par le fait que
+l’intégralité des cellules du jeu sont remplies, et qu’il ne reste que la
+troisième règle de $R$ à appliquer (les deux autres nécessitant des cellules
+vides).
+
+Dû aux importants coûts de calcul, nous ne pouvons pas aller au delà de $100$
+itérations sans risque de corruption (bogue logiciel), ce qui ne nous permet
+pas d’affirmer un certain déterminisme dans l’évolution des croissances durant
+cette dernière période. Cependant, nous pouvons justifier l’existence du
+rapport de proportionnalité entre les évolutions des courbes : les pertes
+rouges sont les nouveaux prisonniers bleus.
+
+## Conclusion, discussions et ouverture
+
+Nous avons obtenu des résultats intéressants dans la partie précédente, que
+nous avons pu expliquer à l’aide de théories simples utilisant divers outils
+mathématiques.
+
+Cela permet de démontrer l’utilité des mathématiques dans la modélisation et
+analyse de simulations simplistes. Ainsi nous pouvons aussi comprendre
+l’intérêt que suscite le Jeu de la Vie de Conway et ses variantes auprès de la
+communauté scientifique : comment un jeu aux règles simples tel que Life2 ou le
+Jeu de la Vie permet-il te modéliser des situations plus complexes de manière
+fiable.
+
+Aussi nous pouvons terminer l’étude en rapprochant l’évolution spontanée puis
+destruction chaotique de notre seconde société avec le résultat de certains
+conflits géo-politiques contemporains.
+
+## Références
+
+- *L’hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique*,
+  Pierre Weiss, la théorie des champs moléculaires.
+
+- *Heinsenberg and ferromagnetism*, S. Chatterjee, une explication de
+  application de la théorie des champs moléculaires.
+
diff --git a/docs/rapport/stabilisation_lances_pieces.png b/docs/rapport/stabilisation_lances_pieces.png
new file mode 100644
index 0000000..d04ef9c
--- /dev/null
+++ b/docs/rapport/stabilisation_lances_pieces.png
diff --git a/docs/rapport/stabilisation_loi_grands_nombres.png b/docs/rapport/stabilisation_loi_grands_nombres.png
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+++ b/docs/rapport/stabilisation_loi_grands_nombres.png